Stetigkeit

wichtiger mathematischer Begriff der Analysis. Eine Funktion x ↦ f ( x ) heißt stetig an einer Stelle x 0 ihres Definitionsbereichs mit dem Funktionswert f ( x 0 ), wenn sich für die Funktionswerte in einer beliebig kleinen Umgebung von f ( x 0 ) eine (hinreichend kleine) Umgebung von x 0 finden lässt, die alle zugehörigen Urbilder enthält; d. h., wenn sich zu einer beliebig kleinen Zahl ε > 0 eine Zahl δ > 0 finden lässt, mit der aus | x – x 0 | < δ folgt: | f ( x ) – f ( x 0 ) | < ε .

Die Stetigkeit ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Voraussetzung der Differenzierbarkeit; umgekehrt ist sie eine hinreichende, aber nicht notwendige Voraussetzung der Integrierbarkeit.