V ẹ ktorraum

algebraische Struktur: eine Menge von Elementen, die man zueinander addieren und die man mit Zahlen multiplizieren kann, wobei die üblichen Rechenregeln gelten. Die Elemente eines Vektorraums werden allgemein als Vektoren bezeichnet ( Vektor ); Beispiele für Vektoren sind u. a. alle reellen Funktionen, lineare Gleichungen, Matrizen sowie die geometrischen Vektoren im engeren Sinn. Die Theorie der Vektorräume ( Vektorrechung ) ist Gegenstand der linearen Algebra. Mengentheoretisch hat eine Menge die Struktur eines Vektorraums, wenn eine assoziative und kommutative Addition ihrer Elemente sowie eine S-Multiplikation mit Elementen eines Körpers K erklärt sind, für die ein Assoziativ- und zwei Distributivgesetze gelten. Für die Vektoraddition ist der Nullvektor das neutrale und der Gegenvektor das inverse Element. Vektoren eines Vektorraums heißen linear unabhängig , wenn es keine Linearkombination dieser Vektoren gibt, die den Nullvektor erzeugt. Gibt es eine solche Linearkombination, nennt man die Vektoren linear abhängig . Ein Vektorraum ist n-dimensional , wenn es in ihm höchstens n linear unabhängige Vektoren gibt; durch Addition und S-Multiplikation lässt sich in ihm jeder Vektor aus n Vektoren zusammensetzen; diese n erzeugenden Vektoren bilden eine Basis des Vektorraums. Beispiel: Der geometrische Raum unserer Anschauung stellt einen 3-dimensionalen Vektorraum dar: Alle Raumvektoren (darstellbar als Pfeile, die die einzelnen Raumpunkte festlegen) lassen sich mit Hilfe dreier Basisvektoren (z. B. i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ ) durch Multiplikation mit geeigneten Zahlen (Koordinaten genannt, z. B. x, y, z ) und anschließender Addition erzeugen:

v ⃗ = x i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ = (x, y, z).