Die Antwort auf diese Frage ist eigentlich sehr leicht zu berechnen, aber eine Erklärung ohne eine zeichnerische Veranschaulichung ist dennoch sehr schwer. Es soll im Folgenden dennoch versucht werden:
Nehmen Sie ein Blatt Papier, einen Bleistift, ein Lineal und einen Zirkel zur Hand. Zeichnen Sie einen Kreis. Dieser symbolisiert unsere Erdkugel. Zeichnen Sie anschließend ein kleines Männchen auf die Erdoberfläche. Ziehen Sie dann eine Linie vom Kopf des Männchens bis zum Erdmittelpunkt, anschließend eine weitere Linie vom Kopf des Männchens, die die »Erdoberfläche« gerade berührt (eine so genannte Tangente). Eine letzte Linie zeichnen Sie vom Schnittpunkt dieser Tangente mit dem Kreis zum Erdmittelpunkt.
Wenn Sie sauber gezeichnet haben, werden Sie sehen, dass wir ein rechtwinkliges Dreieck erhalten - und mit rechtwinkligen Dreiecken können wir wunderbar rechnen, sofern uns zwei Seitenlängen bekannt sind. Zauberwort ist hier der Satz des Pythagoras: »Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten a und b gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse c, also gilt: a2 + b2 = c 2.«
Kommen wir zurück zu unserem rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse des Dreieckes ist hier der Erdradius r plus die Sichthöhe des Männchens h, nehmen wir einmal der Einfachheit halber zwei Meter an. Weiterhin ist uns eine der beiden Katheten bekannt, sie hat als Seitenlänge lediglich den Erdradius r. Die dritte Dreiecksseite ist unsere »große Unbekannte«, sie bezeichnet die Sichtweite bis zum Horizont w.
Stellen wir also unsere Gleichung nach Pythagoras auf: (r + h) 2 = r2 + w2
Nun müssen wir mit Hilfe der Algebra ein wenig umformen, da wir ja das w in dieser Formel berechnen wollen: w2 = (r + h)2 - r2
Jetzt stoßen wir auch hier an die Grenzen der Darstellung, wir brauchen nämlich das Wurzelzeichen. Im Folgenden benutzen wir für das Wurzelzeichen die gängige Abkürzung »sqrt« (aus dem Englischen für squareroot): w = sqrt [(r + h) 2 - r2]
Schließlich müssen wir nur noch ein wenig mit konkreten Zahlen rechnen. Gehen wir einmal von einem Erdradius von 6378 Kilometern aus (Äquatorradius), obwohl die Erde ja nicht eine echte Kugel, sondern eher ein Ei ist, sprich: der Erdradius ist nicht an jedem Ort der Welt gleich. Körpergröße bzw. Augenhöhe ist wie gesagt zwei Meter. Die Einheit m (Meter) lassen wir einfach mal weg.
Das heißt:
w = sqrt [(6 378 000 + 2)
2 - 6 378 0002)
w = sqrt [40 678 909 512 004 - 40 678 884 000 000]
w
= sqrt 25 512 004
w ~ 5050,94
Nun haben wir endlich das Ergebnis: Bei einer Augenhöhe von 2 Metern kann man gut 5000 Meter, also fünf Kilometer weit sehen. Das Praktische an der Formel ist, dass Sie nun auch berechnen können, wie weit man beispielsweise sehen kann, wenn man von einem 250 Meter (plus 2 Meter Augenhöhe) hohen Berg zum Horizont blickt. Wenn wir mit den neuen Zahlen rechnen, bekommen wir ein erstaunliches Ergebnis: Hier können wir ein ganzes Stück mehr überblicken, nämlich fast 57 Kilometer!