Funkti ọ n

eine eindeutige Abbildung in der Analysis. Eine Funktion ordnet jedem Element ( Urbild genannt) einer Menge (Definitionsbereich genannt; Symbol D) ein wohlbestimmtes Element (Bild) einer zweiten Menge (Zielbereich) zu; die Menge aller Bilder heißt Bildmenge oder Wertebereich und ist eine Teilmenge des Zielbereichs. Die Funktion als Zuordnung wird im Allgemeinen mit dem Buchstaben f , der Platzhalter für die Urbilder bei einer unabhängigen Variablen mit x und das zugeordnete Bild mit f(x) bezeichnet; jedes geordnete Paar (x, f(x)) wird Wertepaar genannt. Man schreibt eine Funktion entweder als Zuordnung:

f: x → f(x)

(gelesen: f: x wird zugeordnet f von x ) oder aber als Menge aller ihrer Wertepaare:

f = { (x, y) | y = f(x) }

(gelesen: f ist gleich der Menge aller geordneten Paare x, y mit der Eigenschaft y gleich f von x ), wobei jeweils zusätzlich der Definitionsbereich angegeben ist.

Bei reellen Funktionen sind Urbilder und Bilder reelle Zahlen; Beispiel: Die quadratische Funktion f ordnet jeder reellen Zahl (D = ℝ ) ihr Quadrat zu; hier gilt für jedes Urbild

x: f(x) = x 2 ;

man schreibt

f: x → x 2 bzw. f = { (x, y) | y = x 2 };

die Gleichung y = x 2 heißt Funktionsgleichung dieser Funktion; f besitzt beispielsweise die Wertepaare (2, 4) und ( – 7, 49).

Ist eine Funktion in einem Intervall injektiv (d. h. eineindeutig ), so existiert ihre Umkehrfunktion.