Grenzwert

lateinisch Limes , Abkürzung lim, ein grundlegender Begriff für die Analysis.

1. Grenzwert einer unendlichen Folge : Der Grenzwert einer Folge g ist eine Zahl, in deren beliebig kleiner Umgebung (offenes Intervall, das g enthält) von einer bestimmten, hinreichend großen Nummer ab alle Zahlen der Folge liegen. Schreibweise: (gelesen: limes a n für n gegen unendlich = g ) Beispiele:

2. Grenzwert einer Funktion: Eine Funktion x → f(x) hat in x 0 einen Grenzwert g , wenn f(x) in einer beliebig kleinen Umgebung von g liegt, falls nur x in einer hinreichend kleinen Umgebung von x 0 liegt, die x 0 nicht zu enthalten braucht. Es kann auch sein, dass bei rechts- und linksseitiger Annäherung an x 0 verschiedene Grenzwerte entstehen. Die Funktion hat in x 0 nur dann einen Grenzwert, wenn die Grenzwerte bei Annäherung von beiden Seiten gleich sind. Ist dieser Grenzwert außerdem noch gleich dem Funktionswert f ( x 0 ), dann heißt die Funktion in der Umgebung von x 0 stetig.

Voraussetzung für die Existenz eines Grenzwertes ist, dass f(x) in der Umgebung von x 0 definiert ist; x 0 muss nicht dem Definitionsbereich angehören: z. B. hat die Funktion den Grenzwert 2 x 0 , wenn x gegen x 0 strebt – obwohl x 0 nicht zu ihrem Definitionsbereich gehört. Schreibweise:

Beispiel: