Gruppe

ein mathematischer Strukturbegriff: Eine Menge, zwischen deren Elementen eine assoziative, innere Verknüpfung erklärt ist, heißt Gruppe , wenn ein neutrales Element ( Menge ) existiert, das bei Verknüpfung mit einem beliebigen Element zu diesem zurückführt, und wenn zu jedem Element ein inverses Element ( invers ) existiert, das, mit dem ersten verknüpft, das neutrale Element liefert. Gilt außerdem das Kommutativgesetz , so heißt die Gruppe kommutativ oder Abelsch (nach N. H. Abel ), gelegentlich auch Modul. – Mit der Untersuchung der bei Gruppen auftretenden Gesetzmäßigkeiten befasst sich die Gruppentheorie ; sie untersucht u. a. das Vorkommen von Untergruppen. Bei endlichen Gruppen stellt man die möglichen Verknüpfungen durch Verknüpfungstafeln, die sog Gruppentafeln , dar ( Gruppoid , Halbgruppe , Ring ). So bildet z. B. die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung, der Null als neutralem Element und der Zahl – n als inversem Element zu n eine Gruppe.